Расчетно-графические работы

 

 

Главная

 

Задача 1. Устойчивость сжатого стержня. Определение критической силы и подбор сечения

Стальной стержень длиной l сжимается силой Р. Требуется найти:

1. размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на сжатие [σ] =160 МПа (расчет производить последовательными приближениями, предварительно задаваясь величиной коэффициента φ=0,5);

2. величину критической силы и коэффициент запаса устойчивости.

Данные взять из табл. 1.

Таблица 1

Номер

строки

Вариант схемы

формы сечения

 Р

кН

l

м

 Схема

закрепления

стержня

 

Форма сечения стержня

01

 

02

 

I

 

II

 

100

 

200

 

2,1

 

2,2

 

image143

Iimage144

IIimage145

03

 

04

 

III

 

IV

 

300

 

400

 

2,3

 

2,4

 

image146

III image147

IVimage148

05

 

06

 

V

 

VI

 

500

 

600

 

2,5

 

2,6

 

image143

V image149

VIimage150

07

 

08

 

VII

 

VIII

 

700

 

800

 

2,7

 

2,8

 

image146

VIIimage152

VIIIimage153

09

 

10

 

IX

 

X

 

900

 

1000

2,9

 

3,0

 

image151

IXimage156

Ximage157

11

 

12

I

 

III

 

300

 

400

 

2,3

 

2,5

 

image143

Iimage144

IIimage145

13

 

14

III

 

V

 

900

 

600

 

2,2

 

2,4

 

image146

III image147

IVimage148

15

 

16

V

 

VII

 

500

 

900

 

2,5

 

2,8

 

image143

V image149

VIimage150

17

 

18

VII

 

VIII

 

300

 

500

 

2,7

 

2,2

 

image146

VIIimage152

VIIIimage153

19

 

20

IX

 

X

 

100

 

1000

2,6

 

3,0

 

image151

IXimage156

Ximage157

21

 

22

I

 

II

 

600

 

200

 

2,1

 

2,3

 

image146

Iimage144

IIimage145

23

 

24

III

 

IV

 

300

 

900

 

2,0

 

3,0

 

image143

III image147

IVimage148

25

 

26

V

 

VI

 

400

 

600

 

2,2

 

2,5

 

image151

V image149

VIimage150

27

 

28

VII

 

VIII

 

700

 

100

 

2,4

 

2,7

 

image146

VIIimage152

VIIIimage153

29

 

30

IX

 

X

 

200

 

1000

2,1

 

2,3

 

image151

IXimage156

Ximage157

31

 

32

IX

 

X

 

800

 

600

 

2,7

 

2,9

 

image151

IXimage156

Ximage157

33

 

34

I

 

II

 

100

 

300

 

2,1

 

3,0

 

image151

Iimage144

IIimage145

35

 

36

III

 

IV

 

700

 

200

 

2,1

 

2,7

 

image146

III image147

IVimage148

 

б

а

в

г

 

 

 

Задача 2. Устойчивость сжатого стержня. Определение размеров поперечного сечения

Для  стержня, нагруженного осевой сжимающей силой F, определить размеры поперечного сечения заданной по условию задачи формы и коэффициент запаса устойчивости Ку. Допускаемое напряжение σ задано в МПа, длина L - в м, сила F - в кН.

Данные взять из табл.2 и табл.3.

Таблица 2

Номер

cтроки

Схема

по табл.3

Строка с числовыми

данными в схеме

01

1

1

02

2

2

03

3

3

04

4

4

05

5

1

06

6

2

07

7

3

08

8

4

09

9

1

10

10

2

11

11

3

12

12

4

13

13

1

14

14

2

15

15

3

16

16

4

17

17

1

18

18

2

19

19

3

20

20

4

21

21

1

22

22

2

23

23

3

24

24

4

25

25

1

26

26

2

27

27

3

28

28

4

29

29

1

30

30

2

31

31

3

32

32

4

33

33

1

34

34

2

35

35

3

36

36

4

 

б

г

 

Таблица 3

1 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

2 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

1

6

500

160

1

3

100

12

2

5

400

160

2

3,5

150

12

3

5,5

450

150

3

4

100

11

4

4

300

150

4

3

200

11

 

                              Сталь 3

 

 

   H                     Дерево

 

             H

3 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

4 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

1

5

400

150

1

3

100

10

2

5,5

350

150

2

3,5

80

11

3

4,5

300

160

3

3

60

12

4

4

250

160

4

2,5

120

11

 

 


                     Сталь 3

 

 

             B

 

                          Дерево

  H

                           H/B=2

5 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

6 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

1

4,5

200

150

1

3

80

11

2

4

250

160

2

2,5

120

12

3

3,5

150

160

3

3,5

80

10

4

3

300

150

4

3

100

10

 

                     Сталь 3

 

 

 

                        Дерево

         d

 

7 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

8 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

1

5

150

80

1

6

400

160

2

4,5

200

85

2

5,5

350

150

3

4

250

80

3

5

300

150

4

3,5

300

80

4

4

250

160

            H

                      H1

                               Чугун

H

         H1             H1/H=0,8

 

 


                      Сталь 3

 

 

9 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

10 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

1

2,5

200

80

1

2,5

250

12

2

3

150

85

2

2

200

11

3

3,5

100

70

3

3

150

12

4

4

100

75

4

3,5

100

11

                  d

                            Чугун

       

     D                     d/D=0,8

     B

                         Дерево

 H

                           H/B=2

11 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

12 схема

              F

 

 

 


L

 

L

F

𝛔

1

5,5

300

160

1

2,5

360

11

2

5

200

150

2

3

300

12

3

4,5

200

160

3

3,5

250

11

4

4

150

150

4

2,5

400

12

 

 


                          Сталь 3

 

 

 

                              Дерево

        d

 

13 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

14 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

1

4

300

160

1

2,5

350

11

2

5

100

160

2

3

300

12

3

3

150

150

3

3,5

250

11

4

4

10

150

4

2,5

400

10

 

 


                          Сталь 3

 

 

               H

 

                          Дерево

   H

                         

15 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

16 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

1

4,5

300

160

1

2,5

350

110

2

4

10

160

2

3

300

120

3

3,5

150

150

3

3,5

250

110

4

3

200

150

4

2,5

400

110

 

 


                       Сталь 3

 

 

 

                          Сталь 3

 

                            Iz=Iy

17 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

18 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

1

4

10

11

1

4

10

10

2

3,5

15

10

2

3,5

10

11

3

3

20

12

3

3

15

12

4

2,5

25

13

4

2,5

20

13

  H                      Дерево

 

         H

              H 

                           Дерево

 H

 

 

19 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

20 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

1

6

800

150

1

4

100

12

2

5,5

700

150

2

3,5

120

11

3

5

600

160

3

3

140

11

4

4,4

500

160

4

2,5

160

12

 

                       Сталь 3

 

 

 

                         Дерево

        d

 

21 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

22 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

1

2,5

200

10

1

6

800

160

2

3

150

11

2

5,5

600

150

3

3,5

100

12

3

5

700

150

4

3

120

13

4

4,5

400

150

     B

 

                       Дерево

  H

                    H/B=2

 

 


                         Сталь 3

 

 

23 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

24 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

1

6

800

160

1

6

800

150

2

5,5

700

150

2

5,5

700

160

3

5

600

160

3

5

650

160

4

4,5

500

150

4

4,5

600

150

 

                        Сталь 3

 

 

                           Сталь 3

 

 

25 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

26 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

1

4

450

160

1

4

300

160

2

3,5

400

160

2

3,5

350

160

3

3

300

160

3

3

600

150

4

2,5

500

160

4

4,5

250

160

 

 


                        Сталь 3

 

 

 


                           Сталь 3

 

 

27 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

28 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

1

2,5

300

12

1

3,5

300

12

2

3

250

11

2

3

350

13

3

3

200

10

3

2,5

300

11

4

3

150

11

4

3,5

350

12

           B

                           Дерево

H                          H/B=2

 

 

         d

 

29 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

30 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

1

4

300

150

1

3,5

200

12

2

4,5

400

150

2

3

150

11

3

3,5

500

160

3

2,5

150

10

4

3

350

160

4

2

200

13

 

                       Сталь 3

 

 

                 H

                                Дерево

   H

 

 

31 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

32 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

1

6

800

160

1

6

800

150

2

5,5

500

140

2

5,5

700

160

3

5

600

160

3

5

650

160

4

4,5

700

150

4

4,5

600

150

                    Сталь 3

 

 

                        Сталь 3

 

 

33 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

34 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

1

4

10

12

1

4

10

13

2

3,5

15

10

2

3,5

10

11

3

3

20

11

3

3

15

12

4

2,5

25

13

4

2,5

20

10

 

  H                 Дерево

 

           H

               H 

                           Дерево

 H

 

35 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

36 схема

              F

 

 

 

L

 

 

 

 

L

F

𝛔

1

6

800

150

1

4

100

12

2

5,5

700

150

2

3,5

120

11

3

5

600

160

3

3

140

11

4

4,4

500

160

4

2,5

160

12

 

 


                      Сталь 3

 

 

 

                        Дерево

        d

 

 

 

Задача 3. Расчет сжатых стержней на устойчивость

Для стального стержня (рис.1, а, б) длиной l,  сжимаемого силой F, требуется:

1. подобрать размеры поперечного сечения стержня из условия его устойчивости при допускаемом напряжении на сжатие [σ] =160 МПа (расчет проводить методом последовательных приближений по коэффи­циенту снижения допускаемых напряжений  на сжатие);

2. найти величину критической силы и коэффициент запаса устойчивости nу.

Числовые данные для расчета следует взять из табл. 4, расчетные схемы – на рис. 1, а, б.

Таблица 4

 Номер

строки

Схема по

рис. 1, а, б

Сила

F, кН

Длина

стержня

l, м

01

1

500

2,5

02

2

480

3,9

03

3

450

2,8

04

4

300

3,2

05

5

350

2,7

06

6

370

3,5

07

7

360

3,0

08

8

460

2,7

09

9

370

2,6

10

10

400

3,1

 

з

ж

б

 

1 схема                                     2 схема

1       2

 

 

3 схема                                   4 схема

3       4

 

 

5 схема                                       6 схема

5       6

 

 

7 схема                                   8 схема

7             8

 

 

9 схема                                10 схема

9             10

Рис. 1,а

 

 

           

 

      

 

      

 

Рис.1,б

 

 

Задача 4. Расчет стальных стержней на устойчивость

Стальной стержень длиной l сжимается силой F (рис.2).

Требуется:

1. Найти размеры поперечного сечения стержня при расчетном сопротивлении стали R =160 МПа, пользуясь методом последовательных приближений.

2. Определить величину критической силы, если предельная гибкость равна λпред = 100.

3. Вычислить коэффициент запаса устойчивости.

Данные взять из табл. 5.

Таблица 5

Номер

строки

Схема по

рис. 2,а

Форма сечения

по рис.2,б

F, кН

l, м

01

1

1

100

2,1

02

2

2

200

2,2

03

3

3

300

2,3

04

4

4

400

2,4

05

1

5

500

2,5

06

2

6

600

2,6

07

3

7

700

2,7

08

4

8

800

2,8

09

1

9

900

2,9

10

2

10

1000

3,0

 

е

а

б

в

 

1 схема            2 схема              3 схема              4 схема

1     2    3    4

Рис.2,а

 

1 схема                        2 схема                              3 схема                           4 схема                         5 схема

1   2   3   4   5

 

6 схема                      7 схема                    8 схема                                     9 схема                                   10 схема

6    7   8   9   10

Рис. 2,б

 

 

Задача 5. Устойчивость сжатого стержня. Подбор поперечного сечения

Подобрать поперечное сечение сжатого стержня большой длины при допускаемом напряжении на сжатие [σ] =150 МПа. Вид закрепления стержня показан на рис.3. 

            Данные взять из табл.6.

Рис.3

 

Таблица 6

Номер

cтроки

Схема

по рис.3

F,

кН

l,

м

Форма поперечного сечения

01

I

50

6,5

Двутавр

02

II

60

6

Швеллер

03

III

70

5,5

Квадрат

04

IV

80

5

Окружность

05

I

90

4,5

Прямоугольник с соотношением сторон 1/2

06

II

100

4

Двутавр

07

III

110

3,5

Швеллер

08

IV

120

3

Квадрат

09

I

130

2,5

Окружность

10

II

140

2

Прямоугольник с соотношением сторон 1/2

11

III

60

6

Швеллер

12

IV

70

5,5

Квадрат

13

I

80

5

Окружность

14

II

90

4,5

Прямоугольник с соотношением сторон 1/2

15

III

100

4

Двутавр

16

IV

110

3,5

Швеллер

17

I

120

3

Двутавр

18

I

130

2,5

Швеллер

19

II

50

6,5

Квадрат

20

III

60

6

Окружность

21

IV

70

5,5

Прямоугольник с соотношением сторон 1/2

22

I

80

5

Двутавр

23

II

90

4,5

Швеллер

24

III

100

4

Квадрат

25

IV

110

3,5

Окружность

26

I

120

3

Прямоугольник с соотношением сторон 1/2

27

II

130

2,5

Швеллер

28

III

140

2

Квадрат

29

IV

60

6

Окружность

30

I

70

5,5

Прямоугольник с соотношением сторон 1/2

31

II

80

5

Двутавр

32

III

90

4,5

Швеллер

33

IV

100

4

Квадрат

34

I

110

3,5

Окружность

35

II

120

3

Прямоугольник с соотношением сторон 1/2

36

III

130

2,5

Швеллер

 

а

в

б

г

 

 

Задача 6. Расчет стальной колонны на устойчивость и подбор сечения

Для стальной составной колонны с заданными нагрузкой P, длиной L и опорными закреплениями и типом поперечного сечения требуется:      

1. Из условия устойчивости колонны подобрать номер прокатного профиля, принимая для стали Ст.3 допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа.

2. Из условия устойчивости отдельных ветвей колонны определить необходимое количество соединительных планок и их размеры.

Согласно заданного варианта тип опорных закреплений взять на рис. 4.1, данные для расчета – из таблицы 7, тип поперечного сечения – на рис. 4.2.

 

Таблица 7

Номер

строки

Схема сечения

на рис. 4.2

Тип

закрепления

(рис.4.1)

L,

м

C,

x103, м

P,

кН

01

1

1

3,0

2,0

400

02

2

2

2,5

1,2

330

03

3

3

2,8

2,0

300

04

4

4

3,3

2,6

500

05

5

3

2,8

2,0

350

06

6

1

2,4

3,0

380

07

7

4

2,5

4,0

250

08

8

2

2,0

2,0

590

09

9

3

1,7

1,4

280

10

10

1

1,8

3,5

530

11

11

2

2,6

4,2

380

12

12

4

3,1

3,6

330

13

13

3

2,2

2,8

350

14

14

1

3,2

3,0

520

15

15

2

2,0

2,0

480

16

16

3

1,4

3,2

360

17

17

4

2,7

1,4

420

18

18

4

3,4

3,0

390

19

19

1

2,8

4,0

370

20

20

2

3,0

2,8

400

21

21

4

3,2

1,4

410

22

22

3

2,8

1,5

450

23

23

2

2,5

4,0

490

24

24

3

2,9

2,2

340

25

25

1

2,3

1,8

320

26

26

2

2,2

3,0

380

27

27

4

2,1

2,0

400

28

28

2

2,7

3,4

480

29

29

4

3,3

3,2

450

30

30

1

3,6

2,6

430

 

б

г

а

в

а

 

1 схема                  2 схема                 3 схема                  4 схема

1   2   3   4

Рис. 4.1

 

 

1 схема             2 схема            3 схема              4 схема                   5 схема

1    2      3   4    5

 

 

6 схема                  7 схема                8 схема         9 схема        10 схема

6    7    8    9   0

 

 

11 схема    12 схема       13 схема         14 схема       15 схема

1    2    3    4    5

 

 

16 схема                 17 схема            18 схема          19 схема       20 схема

6   7   8   9   0

 

 

21 схема              22 схема             23 схема            24 схема         25 схема

1   2   3   4 5

 

 

26 схема            27 схема            28 схема             29 схема         30 схема

6   7   8    9    0

Рис. 4.2

 

 

Примеры выполнения задач

 

Пример 1

Стальной стержень длиной l =2,8 м заданной формы попе­речного сечения сжимается силой Р = 411кН (рис.5).

Требуется:

1) подобрать размеры поперечного сечения стержня (расчет производить методом последовательных прибли­жений по коэффициенту φ);

2) найти величину критической силы Ркр и вычислить запас устой­чивости стержня nу. Материал стержня сталь Ст.3; допускаемое напряжение на сжа­тие [σ]с=160 МПа.

Рис. 5. Расчетная схема сжатого стержня и его поперечное сечение

 

Решение.

1. Определение геометрических характеристик сечения стержня через искомый размер сечения a:

Площадь сечения

Размер a

Главные центральные  моменты инерции

Минимальный момент инерции

Минимальный радиус инерции

Для заданного варианта закрепления по табл. 8 выбирается коэф­фи­ци­ент приведения длины μ = 0,7.

Гибкость стержня

 

2. Подбор поперечного сечения стержня.

Из условия устойчивости площадь поперечного сечения

Как указывалось выше, в условии устойчивости неизвестными вели­чинами являются φ и F, которые можно найти методом последовательных приближений, для чего за­да­ется одна из неизвестных величин - φ.

Для первого приближения примем φ1 = 0,5.

Тогда соответствующая площадь поперечного сечения стержня

Находим параметр а:

Проверяем, соответствует ли допускаемая нагрузка для подобранного сечения заданной силе.

Гибкость стержня при a1 = 3,1410-2 м

По табл. (см. раздел справочные данные) следует найти соответствующий коэффициент φ. Значения λ = 102 в таблице нет, поэтому искомое значения коэффициента j оп­ре­деляется линей­ной интерполяцией:

при λ = 100      𝜑100 = 0,60;

при λ = 110      𝜑110 = 0,5;

Соответствующая допускаемая сила

Расхождение между заданной силой и полученной

Подобранное сечение не удовлетворяет условию устойчивости, так как до­пускаемое расхождение между силами заданной и полученной расчетным пу­тем не должно превышать 5%.

Вычисления повторяются еще раз.

Второе приближение: новое значение коэффициента j2 определяется по выражению:

Все вычисления, выполненные при первом приближении, повторяются, но при новом значении φ = φ2:

Расхождение между силами  составляет менее 5%, что приемлемо. Тогда искомый размер a = a2 = 3,0210-2 м 3 см.

 

3. Определение критической силы.

 Для подобранного сечения расчетная гибкость стержня

Предельная гибкость для стали марки Ст. 3 равна 100, поэтому критическую силу следует вычислять по формуле Эйлера, так как λ>λпр.

Минимальный момент инерции принятого сечения стержня

Jmin = Jy = 1,95a4 = 1,9534 = 158 см4.

Критическая сила

Запас устойчивости сжатого стержня:

 

 

Пример 2

Стальной стержень (сталь Ст.3) длиной l сжимается силой F.

Дано: F=1000 кН, l=2,4 м, схема закрепления концов стержня и форма сечения стержня показаны на рис. 6.

Требуется:

1) найти размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на простое сжатие [σ]=160 Мпа (расчет производить методом последовательных приближений, в первом приближении задавшись коэффициентом φ=0,5);

2) найти значение критической силы и коэффициента запаса устойчивости.

Рис. 6

Решение.

Расчет начинаем с вычисления всех необходимых геометрических характеристик поперечного сечения стойки, которые удобно выразить через площадь поперечного сечения A (b=h=2d):

Радиус инерции сечения относительно оси наименьшей жесткости:

Гибкость стержня:

где μ - коэффициент приведения длины стержня, зависящий от условий закрепления стержня (табл.8)

 

Таблица 8. Коэффициенты приведения длины  μ

 

В условии устойчивости

неизвестны величины A и φ, где φ - коэффициент продольного изгиба.

Расчет производить методом последовательных приближений, в первом приближении задавшись коэффициентом φ=0,5:

тогда гибкость стержня

По таблице 9, используя линейную интерполяцию, находим

 

Таблица 9. Коэффициенты продольного изгиба  φ  для ст.3

λ

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

φ

1,00

0,99

0,96

0,94

0,92

0,89

0,86

0,81

0,75

0,69

0,60

λ

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

 

φ

0,52

0,45

0,40

0,36

0,32

0,29

0,26

0,23

0,21

0,19

 

 

Во втором приближении принимаем

В третьем приближении

В четвертом приближении

Полученное значение φ близко к принятому, поэтому проверим выполнение условия устойчивости:

Относительная погрешность между напряжениями составляет

это меньше одного процента, что допустимо. Принимая φ=0,763; получаем A=0,0082 м2;  

Для материала стойки (сталь 3, E=200 Гпа, σпц=200 Мпа) значение предельной гибкости λпред будет равно

Поскольку в нашем случае гибкость стойки меньше предельной (λ=75<100), то величину критической силы определяем по формуле Ясинского (для ст.3  a=310 Мпа,  b=1,14 Мпа):

Fкр=σкрA=(a-bλ)A=(310-1,1475)∙106∙0,0082=1841 кН.

Стойка имеет коэффициент запаса устойчивости, равный

 

 

Пример 3

Стальной стержень (рис.7) сжимается силой .

Требуется:

1. Найти размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на простое сжатие  Расчет производить последовательными приближениями.

2. Найти критическую силу и коэффициент запаса устойчивости.

Дано:

Рис.7

Решение.

1. Найдем размеры поперечного сечения

Площадь:

Минимальный осевой момент инерции:

Минимальный радиус инерции:

Гибкость стержня:

Здесь  – коэффициент  приведения длины стержня. Для рассматриваемого стержня  

Размеры поперечного сечения стержня находим из расчетного уравнения:

В первом приближении примем  Вычислим  и :

Для стали Ст3 при  Значение коэффициента  при гибкости  найдем линейной интерполяцией:

Повторим расчет с новым значение коэффициента . Результаты вычислений на каждой итерации приведены в таблице 10.

 

Таблица 10

№ итерации

1

2

3

4

5

0,0500

0,0679

0,0365

0,0355

0,0355

166,28

30,67

8,86

8,39

8,38

0,271

0,939

0,991

0,992

0,992

 

2. Найдем критическую силу  и коэффициент запаса устойчивости

Поскольку гибкость стержня меньше предельного значения  то критическую силу определим по формуле Ясинского:

Коэффициент запаса устойчивости:

 

 

Пример 4

Для показанного сечения стержня (стойки) (рис.8), составленного из четырех равнобоких уголков, требуется:

1. подобрать сечение из условия устойчивости на продольный изгиб при заданном коэффициенте запаса прочности nт.

2. Определить расстояние между приваренными к профилям соединительными планками из условия равной гибкости всего стержня и участка профиля между планками.

Дано: Материал: сталь Ст3;  предел текучести σт = 240 МПа; F = 0,68 МН;  L = 4,4 м;  nт = 1,5.

стойка.bmp

Рис.8. Схема стойки и форма сечения

Решение.

1.Выбор сечения

Расчет сечения ведем методом последовательных приближений

Шаг 1

Задаемся коэффициентом уменьшения допускаемого напряжения j1 = 0,5.

Допускаемое напряжение

Площадь поперечного сечения стойки

Потребная площадь уголка

Подбираем уголок № 12,5х9 (рис.9).

Ауг = 22 см2;      Iy = 327 см4;      Iz' = 327 см4;          y0 = 3,4 см.

уголок.bmp

Рис.9

 

Минимальный момент инерции сечения стойки

Iz min = (Iz' + Aугy02)4 = (327+228,482)4 = 7636 см4

Минимальный радиус инерции сечения стойки

Гибкость стержня

где μ = 1 – коэффициент закрепления стойки.

По таблице (смправочные данные) определяем коэффициент снижения допускаемого напряжения

Шаг 2

Коэффициент снижения допускаемого напряжения

Подбираем уголок № 11х7.

Ауг = 15,2 см2;    Iy = 176 см4;     Iz' = 176 см4;      y0 = 2,96 см;       b = 110 мм

Iz min = (Iz' + Aугy02)4 = (176 + 15,28,042)4 = 4634 см4

Шаг 3

Коэффициент снижения допускаемого напряжения

Подбираем уголок №10х7.

Ауг = 13,8 см2;    Iy = 131 см4;     Iz' = 131 см4;     y0 = 2,71 см;        b = 100 мм

Iz min = (Iz' + Aугy02)4 = (131 + 13,87,292)4 = 3457 см4

Шаг 4

Коэффициент снижения допускаемого напряжения

Подбираем уголок № 10х6,5.

Ауг = 12,8 см2;     Iy = 122 см4;     Iz' = 122 см4;         y0 = 2,68 см;       b = 100 мм.

Iz min = (Iz' + Aугy02)4 = (122 + 12,87,322)4 = 3231 см4

Проверка.

Напряжения в стойке

Отклонение напряжения от допускаемого

Перегруз 4,8% 5%

 

2.Определение расстояния между соединительными планками

Расстояние между соединительными планками определяем из условия равной гибкости одного уголка между планками и стойки.

λуг = λ = 55,7.

Гибкость уголка

где μуг = 1.

Из этого расстояние между планками

Так как Н = 4,4м, L= 4,4 м, то соединительных планок не требуется.

 

 

Пример 5

Подобрать сечение сжатого элемента стропильной фермы. Продольная сила в стержне N = 1200 кН. Сечение элемента фермы (рис.10) состоит из двух равнобоких уголков длиной 2 м, расположенных тавром и сваренных вместе через прокладку. Материал сталь, R = 240 МПа. Концы стержня оперты в узлах шарнирно.

Рис.10

Решение.

Из условия устойчивости  определяем требуемую площадь поперечного сечения

Принимаем в первом приближении φ1 = 0,5

Требуемая площадь сечения одного уголка А = 100/2 = 50 см2. По ГОСТ 8509 – 86 уголок 160×160×16 мм имеет площадь 49,1 см2. Тогда площадь сечения двух уголков 2×49,1 = 98,2см2.

Как видно из рис.10 наименьший радиус инерции составного сечения будет относительно оси х, так как Ix < Iy. На основании выражения   радиус инерции составного сечения относительно оси х равен радиусу инерции одного уголка относительно оси х. По сортаменту imin = 4,89 см.

Определяем гибкость стержня, принимая для нашего случая закрепления концов стержня μ = 1

Используя таблицу коэффициентов φ (смправочные данные), найденному значению гибкости λ соответствует коэффициент  = 0,917.

При этом расчетное напряжение в стержне будет равно

Получилось очень большое недонапряжение, поэтому сечение необходимо уменьшить. Примем для второго приближения

Определяем необходимую площадь сечения

Подбираем два уголка 160×160×14 мм с А = 86,6 см2. Наименьший радиус инерции для этого составного сечения imin = 4,92 см.

Гибкость стержня

Этому значению гибкости по таблице коэффициентов j соответствует  = 0,918.

Расчетное напряжение в этом случае составит

Опять получается значительное недонапряжение материала стержня фермы. Возьмем для третьего приближения значение коэффициента

Требуемая площадь сечения

Подбираем сечение из двух уголков125×125×12 мм, А = 57,8 см2, imin = 3,82см.

Определяем гибкость стержня из этих уголков:

Этому значению гибкости по таблице коэффициентов φ, соотвествует значение  = 0,882.

Расчетное напряжение для этого случая

Недонапряжение составляет

Окончательно принимаем сечение стержня из двух равнобоких уголков 125×125×12 мм.

 

 

Пример 6

Для стойки (рис. 11)  указанного сечения, одинаково закрепленной в плоскостях xy и xz потери устойчивости и сжатой центрально приложенной силой F требуется подобрать размеры поперечного сечения, c использованием коэффициента продольного изгиба. Материал - сталь Ст-3.

Дано: F =1000 кН;  l =1,5 м; R= 220 МПа. Для стойки, имеющей защемляющую и шарнирную опоры, коэффициент приведенной длины μ = 0,7.

Рис.11

Решение.

Определим геометрические характеристики сечения:

радиусы инерции сечения

Гибкость стержня

Коэффициент продольного изгиба может принимать значения от нуля, до единицы. В первом приближении φ1=0,5, тогда:

Используя таблицу коэффициентов φ (смправочные данные), принимаем значения =0,935, которое существенно отличается от φ1.

Во втором приближении коэффициент продольного изгиба принимаем как среднее арифметическое:

Повторяем расчет во втором, третьем и четвертом приближении (табл. 11)

Таблица 11

Приближение

φ

A, см2

a, см

i, см

λ

1

0,5

90,9

5,32

3,37

31,2

0,935

2

0,718

63,3

4,44

2,81

59

0,82

3

0,77

59

4,3

2,71

61,2

0,816

4

0,79

5,57

4,16

2,63

63

0,805

Вычислим напряжения в четвертом приближении:

Перенапряжение составляет

Окончательно принимаем a = 4,2 см.

 

 

Пример 7

Стальной стержень длиной l = 2,5 м сжимается силой P = 170 кH (рис.12,а). Коэффициент приведения длины для данной схемы закрепления концов стержня μ=2/3. Стержень имеет квадратное поперечное сечение (рис.12,б).

Требуется:

1) найти размеры поперечного сечения при основном допускаемом напряжении на сжатие [σ]=160 МПа;

2) найти числовое значение критической силы и коэффициент запаса устойчивости.

Рис.12

Решение.

Найдём размеры поперечного сечения стержня, определив площадь поперечного сечения из расчёта сжатого стержня на устойчивость. Расчёт будем производить методом последовательных приближений (итераций), предварительно приняв значение коэффициента продольного изгиба φ=0,5 (гибкость стержня λ= 113):

Так как поперечное сечение представляет собой квадрат, то А=a2, откуда

Примем сторону квадрата α=5 см, тогда А=2510-4 м2. Для квадратного сечения радиус инерции стержня:

Гибкость стержня:

Вычисляем напряжение:

Окончательно принимаем размер поперечного сечения a=5 см.

Числовое значение критической силы найдём по формуле Эйлера:

Так как гибкость рассматриваемого стержня больше предельного значения гибкости для стального стержня (λпред=100).

E=2,1108 кПа - модуль упругости материала стержня;

 - осевой момент инерции квадратного поперечного сечения; тогда

Коэффициент запаса устойчивости:


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Сопротивление материалов

Строительная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

00:00:00

 

Top.Mail.Ru