Главная

Задача 1. Расчет статически определимого вала, работающего на кручение.

К стальному валу приложены скручивающие моменты: М₁, М₂, М₃, М_4, (рис.1). Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов;

2) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его величину до ближайшей большей, соответственно равной: 30, 35, 40,45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм;

3) построить эпюру углов закручивания;

4) найти наибольший относительный угол закручивания.

Данные взять из табл.1.

Таблица 1

Номер строки	Схема по рис.1	Расстояние, м			Моменты, кНм		[τ], МПа
		а	b	с	М1; М3	М2; М4
01	1	1,1	1,1	1,1	2,1	1,1	35
02	2	1,2	1,2	1,2	2,2	1,2	40
03	3	1,3	1,3	1,3	2,3	1,3	45
04	4	1,4	1,4	1,4	2,4	1,4	50
05	5	1,5	1,5	1,5	2,5	1,5	55
06	6	1,6	1,6	1,6	1,6	0,6	60
07	7	1,7	1,7	1,7	1,7	0,7	65
08	8	1,8	1,8	1,8	1,8	0,8	70
09	9	1,9	1,9	1,9	1,9	0,9	75
10	10	2,0	2,0	2,0	2,0	1,0	80
11	11	1,6	1,3	1,6	2,3	1,2	35
12	12	1,7	1,4	1,7	2,4	1,3	40
13	13	1,8	1,5	1,8	2,5	1,4	45
14	14	1,9	1,6	1,9	1,6	1,5	50
15	15	2,0	1,7	2,0	1,7	0,6	55
16	16	1,3	1,8	1,1	1,8	0,7	60
17	17	1,4	1,1	1,2	1,9	0,8	65
18	18	1,5	1,2	1,3	1,6	0,9	70
19	19	1,6	1,3	1,4	1,7	1,1	60
20	20	1,7	1,4	1,5	1,8	1,2	65
21	21	1,9	1,5	1,9	1,9	1,3	70
22	22	2,0	1,6	2,0	2,0	1,4	75
23	23	1,6	1,7	1,6	2,3	1,5	80
24	24	1,7	1,6	1,7	2,4	0,6	35
25	25	1,8	1,7	1,8	2,5	0,7	40
26	26	1,9	1,8	1,9	1,6	0,8	45
27	27	2,0	1,9	1,1	1,8	0,9	50
28	28	1,3	2,0	1,2	1,9	1,0	55
29	29	1,1	1,3	1,3	2,0	1,2	35
30	30	1,2	1,4	1,4	2,3	1,3	40
31	31	1,3	1,5	1,5	2,4	1,4	45
32	32	1,4	1,4	1,6	2,5	1,5	50
33	33	1,5	1,5	1,7	1,6	0,6	55
34	34	1,6	1,6	1,8	1,7	0,7	60
35	35	1,7	1,7	1,9	1,8	0,8	65
36	36	1,8	1,6	1,6	2,3	0,9	45
	б	а	в	г	а	б	в

1 схема 2 схема

3 схема 4 схема

5 схема 6 схема

7 схема 8 схема

9 схема 10 схема

11 схема 12 схема

13 схема 14 схема

15 схема 16 схема

17 схема 18 схема

19 схема 20 схема

21 схема 22 схема

23 схема 24 схема

25 схема 26 схема

27 схема 28 схема

29 схема 30 схема

31 схема 32 схема

33 схема 34 схема

35 схема 36 схема

Рис. 1

Задача 2. Подбор сечения статически определимого вала, работающего на кручение.

Для заданной расчетной схемы (рис.2) необходимо:

1) Вычертить расчетную схему вала в произвольном масштабе.

2) Построить эпюру крутящих моментов.

3) Из условия прочности определить размеры поперечного сечения вала, приняв сечение вала круглым, кольцевым, прямоугольным.

4) Построить эпюру углов закручивания для круглого вала, приняв жесткость сечения постоянной.

5) Сравнить веса валов.

Данные взять из табл.2.

Таблица 2

Номер cтроки	Схема по рис.2	а, м	b, м	с, м	М1, Нм	М2, Нм	М3, Нм	М4, Нм	М5, Нм	ξ=d/D	h/b	[τ], МПа
01	1	0,2	0,7	0,5	100	500	800	400	600	0,4	1,1	50
02	2	0,3	0,6	0,6	200	600	700	300	500	0,5	1,2	60
03	3	0,4	0,5	0,4	300	700	600	800	300	0,6	1,3	70
04	4	0,5	0,4	0,3	400	800	500	700	200	0,7	1,4	80
05	5	0,6	0,3	0,5	500	900	400	600	700	0,8	1,5	90
06	6	0,7	0,2	0,8	600	1000	300	500	800	0,9	1,6	50
07	7	0,8	0,3	0,7	700	900	200	600	900	0,8	1,7	60
08	8	0,7	0,4	0,3	800	800	100	300	1000	0,7	1,8	70
09	9	0,6	0,5	0,4	900	700	1000	200	400	0,6	1,9	80
10	10	0,5	0,6	0,2	1000	100	900	300	100	0,5	2,0	90
11	11	0,3	0,6	0,6	300	600	700	800	500	0,5	1,2	60
12	12	0,4	0,5	0,4	400	700	600	700	300	0,6	1,3	70
13	13	0,5	0,4	0,3	500	800	500	600	200	0,7	1,4	80
14	14	0,6	0,3	0,5	600	900	400	500	700	0,8	1,5	90
15	15	0,7	0,2	0,8	700	1000	300	600	800	0,9	1,6	50
16	16	0,8	0,3	0,7	800	900	200	300	900	0,8	1,7	60
17	17	0,7	0,4	0,3	900	800	100	200	1000	0,7	1,8	70
18	18	0,6	0,5	0,4	1000	700	1000	300	400	0,6	1,9	80
19	19	0,5	0,7	0,5	100	600	900	800	600	0,5	2,0	90
20	20	0,5	0,6	0,6	200	700	500	700	500	0,6	1,8	60
21	21	0,6	0,5	0,4	300	800	400	600	300	0,7	1,9	70
22	22	0,7	0,4	0,3	400	900	300	500	200	0,8	2,0	80
23	23	0,8	0,3	0,5	500	1000	200	600	700	0,9	1,2	90
24	24	0,7	0,2	0,8	600	900	100	300	800	0,8	1,3	50
25	25	0,6	0,3	0,7	700	800	1000	200	900	0,7	1,4	60
26	26	0,5	0,4	0,3	800	700	900	300	1000	0,6	1,5	70
27	27	0,3	0,5	0,4	900	100	700	800	400	0,5	1,6	80
28	28	0,4	0,6	0,2	1000	600	600	700	100	0,5	1,7	90
29	29	0,5	0,6	0,6	300	700	500	600	500	0,6	1,8	60
30	30	0,6	0,5	0,4	400	800	400	500	300	0,7	1,9	70
31	31	0,7	0,4	0,3	500	900	300	600	200	0,8	2,0	80
32	32	0,8	0,3	0,5	600	1000	200	300	700	0,9	1,2	90
33	33	0,7	0,2	0,8	700	900	100	800	800	0,8	1,3	50
34	34	0,6	0,3	0,7	800	800	1000	700	900	0,8	1,4	50
35	35	0,5	0,4	0,3	900	700	700	600	500	0,9	1,5	60
36	36	0,3	0,5	0,4	300	900	600	500	300	0,8	1,6	70
	б	г	в	б	а	в	б	а	г	а	б	в

1 схема 2 схема

3 схема 4 схема

5 схема 6 схема

7 схема 8 схема

9 схема 10 схема

11 схема 12 схема

13 схема 14 схема

15 схема 16 схема

17 схема 18 схема

19 схема 20 схема

21 схема 22 схема

23 схема 24 схема

25 схема 26 схема

27 схема 28 схема

29 схема 30 схема

31 схема 32 схема

33 схема 34 схема

35 схема 36 схема

Рис.2

Задача 3. Подбор сечения статически определимого вала, работающего на кручение.

К стальному брусу круглого поперечного сечения приложены четыре крутящих момента M₁, M₂, M₃, X, три из которых известны.

Требуется:

1) установить, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения равен нулю;

2) при найденном значении Х построить эпюру крутящих моментов;

3) при заданном значении допускаемого напряжения [τ] определить диаметр вала из условия его прочности и округлить величину диаметра до ближайшей большей стандартной величины, равной 30, 35, 40, 45, 50, 60, 80, 90, 100 мм;

4) проверить, выполняется ли условие жесткости бруса при выбранном диаметре, если допускаемый угол закручивания [θ]= 1 град/м;

5) построить эпюру углов закручивания.

Для всех вариантов принять модуль сдвига для стали G=8∙10⁵ Мпа.

Числовые данные берутся из табл. 3, расчетные схемы – на рис. 3.

Таблица 3

Номер строки	Схема по рис. 3	Размер, м			Момент, кНм			[τ], МПа
		а	в	с	M1	M2	M3
01	1	0,8	0,4	1,0	2,0	1,6	1,0	35
02	2	0,6	0,5	0,5	1,8	1,7	1,2	40
03	3	0,4	0,7	0,7	1,7	0,9	0,7	50
04	4	0,6	0,4	0,6	1,5	0,8	1,5	45
05	5	0,5	0,8	0,4	1,3	2,0	1,4	60
06	6	0,7	1,0	0,8	1,0	1,7	2,0	40
07	7	1,0	0,7	1,0	1,6	1,5	1,6	35
08	8	0,4	0,6	0,5	1,4	1.6	1,8	70
09	9	0,7	0,4	0,6	1,5	0,8	0,9	80
10	10	0,5	0,5	0,4	0,9	1,0	1,5	60
	з	ж	а	б	в	г	д	е

1 схема 2 схема

3 схема 4 схема

5 схема 6 схема

7 схема 8 схема

9 схема 10 схема

Рис. 3

Задача 4. Расчет статически определимого вала, работающего на кручение. Определение допускаемой нагрузки.

На вал постоянного сечения насажены три шкива (рис.4). Из условия равновесия вала определить силу F₃ и построить эпюру крутящего момента.

Числовые данные берутся из табл. 4, расчетные схемы – на рис. 4.

Таблица 4

Номер cтроки	Схема по рис.4	r1, м	r2, м	r3, м	F1, кН	F2, кН
01	I	0,20	0,05	0,10	40	50
02	II	0,10	0,20	0,15	10	20
03	III	0,15	0,10	0,20	30	10
04	IV	0,20	0,10	0,30	15	10
05	V	0,10	0,15	0,20	30	20
06	VI	0,30	0,10	0,15	40	10
07	VII	0,20	0,15	0,10	20	20
08	VIII	0,15	0,20	0,05	10	30
09	IX	0,05	0,15	0,20	20	10
10	X	0,10	0,20	0,15	30	30
11	I	0,20	0,05	0,10	40	50
12	II	0,10	0,20	0,15	10	20
13	III	0,15	0,10	0,20	30	10
14	IV	0,20	0,10	0,30	15	10
15	V	0,10	0,15	0,20	30	20
16	VI	0,30	0,10	0,15	40	10
17	VII	0,20	0,15	0,10	20	20
18	VIII	0,15	0,20	0,05	10	30
19	IX	0,05	0,15	0,20	20	10
20	X	0,10	0,20	0,15	30	30
21	I	0,20	0,05	0,10	40	50
22	II	0,10	0,20	0,15	10	20
23	III	0,15	0,10	0,20	30	10
24	IV	0,20	0,10	0,30	15	10
25	V	0,10	0,15	0,20	30	20
26	VI	0,30	0,10	0,15	40	10
27	VII	0,20	0,15	0,10	20	20
28	VIII	0,15	0,20	0,05	10	30
29	IX	0,05	0,15	0,20	20	10
30	X	0,10	0,20	0,15	30	30
31	I	0,20	0,05	0,10	40	50
32	II	0,10	0,20	0,15	10	20
33	III	0,15	0,10	0,20	30	10
34	IV	0,20	0,10	0,30	15	10
35	V	0,10	0,15	0,20	30	20
36	VI	0,30	0,10	0,15	40	10
	а	г	в	б	а	в

Рис.4

Задача 5. Расчет статически определимого вала, работающего на кручение. Построение эпюры M_k.

Вал (рис. 5) находится в равновесии под действием двух пар сил моментами M₁ и M₂ и двух равномерно распределенных по длине стержня моментов интенсивностью m₁ и m₂. Построить эпюру крутящего момента в долях ml.

Числовые данные берутся из табл. 5, расчетные схемы – на рис. 5.

Таблица 5

Номер cтроки	Схема по рис.5	l1/l	l2/l	m1/m	m2/m	M1/ml	M2/ml
01	I	1,0	1,5	1,0	1,0	–1,0	–2,0
02	II	2,0	1,0	2,5	–2,0	2,0	1,5
03	III	3,0	2,0	1,5	3,0	2,5	1,0
04	IV	1,5	3,0	2,0	–1,5	3,0	2,5
05	V	1,0	1,5	1,0	–2,5	–1,5	–1,0
06	VI	2,0	1,0	–1,5	–1,0	–1,5	1,0
07	VII	3,0	2,0	–2,5	2,0	2,0	–1,5
08	VIII	1,5	1,0	–1,0	–3,0	1,0	2,5
09	IX	1,0	2,0	–2,0	1,5	–2,5	–3,0
10	X	2,0	3,0	–1,0	2,5	1,5	–2,5
11	I	1,0	1,5	1,0	1,0	–1,0	–2,0
12	II	2,0	1,0	2,5	–2,0	2,0	1,5
13	III	3,0	2,0	1,5	3,0	2,5	1,0
14	IV	1,5	3,0	2,0	–1,5	3,0	2,5
15	V	1,0	1,5	1,0	–2,5	–1,5	–1,0
16	VI	2,0	1,0	–1,5	–1,0	–1,5	1,0
17	VII	3,0	2,0	–2,5	2,0	2,0	–1,5
18	VIII	1,5	1,0	–1,0	–3,0	1,0	2,5
19	IX	1,0	2,0	–2,0	1,5	–2,5	–3,0
20	X	2,0	3,0	–1,0	2,5	1,5	–2,5
21	I	1,0	1,5	1,0	1,0	–1,0	–2,0
22	II	2,0	1,0	2,5	–2,0	2,0	1,5
23	III	3,0	2,0	1,5	3,0	2,5	1,0
24	IV	1,5	3,0	2,0	–1,5	3,0	2,5
25	V	1,0	1,5	1,0	–2,5	–1,5	–1,0
26	VI	2,0	1,0	–1,5	–1,0	–1,5	1,0
27	VII	3,0	2,0	–2,5	2,0	2,0	–1,5
28	VIII	1,5	1,0	–1,0	–3,0	1,0	2,5
29	IX	1,0	2,0	–2,0	1,5	–2,5	–3,0
30	X	2,0	3,0	–1,0	2,5	1,5	–2,5
31	I	1,0	1,5	1,0	1,0	–1,0	–2,0
32	II	2,0	1,0	2,5	–2,0	2,0	1,5
33	III	3,0	2,0	1,5	3,0	2,5	1,0
34	IV	1,5	3,0	2,0	–1,5	3,0	2,5
35	V	1,0	1,5	1,0	–2,5	–1,5	–1,0
36	VI	2,0	1,0	–1,5	–1,0	–1,5	1,0
	г	а	в	б	а	в	б

Рис.5

Задача 6. Расчет статически определимого вала, работающего на кручение. Подбор сечения.

Для прямого стержня, нагруженного крутящими моментами по схеме, указанной на рис.6, необходимо:

1. Записать выражение крутящего момента M(z) и построить его график.

2. Подобрать из расчета на прочность по теории наибольших касательных напряжений диаметр круглого поперечного сечения.

3. Подобрать из расчета на прочность размеры кольцевого сечения при условии d=α∙D.

4. Сравнить веса выбранных стержней.

5. Найти величину и направление главных напряжений в опасной точке одного из стержней.

Числовые данные берутся из табл. 6, расчетная схема – на рис.6.

Рис.6. Схема нагружения и поперечное сечение

Таблица 6

Номер строки	l, м	a, м	b, м	c, м	e, м	L1, кНм	L2, кНм	m, кНм/м	α	[σ], МПа
1	0,4	0,2	0,4	0	0,3	1,2	- 1,7	4,0	0,8	103
2	0,5	0,4	0,2	0	0,5	1	- 1,5	3,7	0,5	109
3	0,4	0,4	0,2	0,1	0,3	1,5	- 1,9	4,6	0,6	119
4	0,6	0,4	0,6	0,1	0,2	1,5	1,8	- 4,0	0,8	120
5	0,8	0,5	0,7	0,2	0,8	1,2	2,4	3,6	0,7	122
6	0,8	0,3	0,6	0,2	0,8	- 2,6	- 1,1	5,4	0,8	134
7	0,6	0,4	0,6	0,1	0,5	1,5	- 2	3,4	0,8	114
8	0,8	0,3	0,1	0,5	0,8	- 2,5	1,5	3,9	0,6	142
9	0,5	0,3	0,5	0,1	0,2	- 1,2	1,4	3,9	0,6	113
10	0,4	0,2	0,4	0,1	0,2	- 1,4	1,2	3,7	0,9	120
11	0,8	0,3	0,7	0,1	0,5	- 1,5	-2,3	6,3	0,8	100
12	0,8	0,8	0,1	0,3	0,5	- 1,8	1,3	4,5	0,5	113
13	0,4	0,1	0,3	0,2	0,4	0,9	- 1,5	3,7	0,8	121
14	0,5	0,3	0,5	0,1	0,5	- 2,4	1,7	5,4	0,6	102
15	0,6	0,1	0,5	0,2	0,6	1	- 2,6	5,5	0,6	126
16	0,7	0,7	0,3	0,3	0,7	2,2	1,7	-6,4	0,5	117
17	0,4	0,3	0,1	0	0,4	- 1	2,2	5,5	0,6	151
18	0,6	0,6	0,1	0,2	0,4	1,5	- 2,9	5,3	0,6	161
19	0,5	0,3	0,5	0,1	0,4	1,5	1,8	3,7	0,6	164
20	0,5	0,4	0,3	0,1	0,5	- 2,1	1,4	5,7	0,5	124
21	0,4	0,4	0,2	0	0,3	- 0,6	- 0,3	5,2	0,7	122
22	0,8	0,2	0,8	0,3	0,8	1,5	2,5	-3,2	0,7	150
23	0,4	0,3	0,1	0,2	0,4	- 0,5	0,5	7,6	0,7	167
24	0,5	0,3	0,5	0	0,5	- 0,6	0,4	7,3	0,9	166
25	0,8	0,6	0,8	0	0,6	- 0,7	0,6	3,7	0,7	129
26	0,6	0,3	0,1	0,2	0,6	- 1	- 0,3	5,6	0,7	100
27	0,6	0,5	0,6	0,1	0,4	- 0,7	0,3	6,9	0,5	131
28	0,4	0,4	0,2	0	0,1	0,9	- 0,5	6,4	0,6	177
29	0,4	0,1	0,2	0	0,3	- 0,6	1,5	7,1	0,8	162
30	0,6	0,3	0,1	0	0,5	1,5	- 0,8	8,9	0,7	171
	в	г	а	б	а	г	в	б	а	г

Примеры выполнения задач

Пример 1

Для заданного бруса круглого сечения (рис. 7, а) требуется:

1) определить величину момента X, при котором угол поворота свободного конца бруса равен нулю,

2) построить эпюры крутящих моментов и углов закручивания,

3) подобрать диаметр сечения по условию прочности и произвести проверку бруса на жесткость.

Дано: а =0,8 м; в=1,0 м; с=0,4 м; M₁=2 кНм; M₂=0,9 кНм; M₂=1 кНм; [t]=40 МПа; G=8×10⁴ МПа.

Рис.7. Брус, работающий на кручение:
а - расчетная схема; б - эпюра крутящих моментов;
в - эпюра углов закручивания

Решение.

1.Определение величины неизвестного крутящего момента Х.

Брус жестко заделан левым концом А, правый конец Е свободный. В сечениях В, С, и D приложены известные крутящие моменты. Для определения неизвестного момента Х используем условие равенства нулю угла поворота сечения Е.

Угол поворота сечения Е относительно сечения А определяется как сумма углов закручивания отдельных участков:

Крутящие моменты M_кр, входящие в выражение (1), определяются по приведенному выше правилу.

Вычисления начинаем с незакрепленного конца:

Используя выражения (2) и сокращая на GJ_ρ, приводим уравнение (1) к виду

(X-1,9)∙a+(X+0,1)∙b+(X+1,0)∙c+X∙a=0.

Подставляя значения a, b, c (рис.7, а) и решая это уравнение, получаем Х = 0,34 кНм.

Примечание: если значение Х получится со знаком минус, направление крутящего момента задано неправильно. В данном примере X положителен, следовательно, направление крутящего момента, показанное на рис.7, правильно.

2. Построение эпюры крутящих моментов.

Найденное значение Х = 0,34 кНм подставляем в выражения (2), вычисляя таким образом величину крутящего момента на каждом участке:

; ;

;

По найденным значениям М_кр строим эпюру крутящих моментов. Для этого рассматриваем последовательно участки ЕD, DC, CB и CA. Крутящие моменты, действующие на этих участках, уже вычислены.

Величина крутящего момента на каждом участке не зависит от положения сечения в пределах участка (крутящий момент постоянен), поэтому эпюра крутящих моментов ограничена отрезками прямых (рис.7,б). Построенная эпюра позволяет найти опасное сечение, т.е. такое, в котором действует максимальный (по модулю) крутящий момент.

В рассматриваемом примере опасными будут сечения в пределах участка АВ; расчетное значение крутящего момента

3. Подбор диаметра поперечного сечения бруса.

Используем условие прочности

Учитывая, что , выразим диаметр из условия прочности

Подставляя и [τ]=40∙10⁶ Па, вычисляем диаметр поперечного сечения, округляя его до стандартной величины: