Главная

Лекция 7 (продолжение). Задачи для самостоятельного решения

Содержание

Расчет балок при косом изгибе

Расчет стержней при внецентренном сжатии-растяжении

Расчет валов на изгиб с кручением

Общий случай сложного сопротивления

Расчет балок при косом изгибе

Задача 1.

Защемленная одним концом двутавровая балка №24а длиной 1,4 м, нагружена на собственном конце сосредоточенной силой F, прогнулась под силой на 3 мм. Направление прогиба совпала с биссектрисой угла между главными осями инерции поперечного сечения балки. Определить величину и направление силы F, а также наибольшее растягивающее напряжение в балке.

Ответ: F=17,65 кН; .

Задача 2.

Направление полного прогиба балки прямоугольного сечения вх2в составляет с главными осями сечения рад. Определить положение плоскости изгибающего момента.

Ответ: α=1,326 рад (с осью х).

Задача 3.

При установке на опоры I №60, предназначенного для работы на изгиб в вертикальной плоскости, совпадающей с плоскостью стенки, была допущена ошибка, и стенка двутавра отклонилась от вертикали на угол 3⁰. Определить связанное с этим увеличением наибольших нормальных напряжений и полного прогиба двутавра.

Ответ: Напряжения увеличились на 74%, полный прогиб – на 154%.

Задача 4.

Какое положение займет нейтральный слой в баке прямоугольного поперечного сечения, если плоскость действия нагрузки будет совпадать с одной из диагональных плоскостей?

Ответ: Совпадает с другой диагональной плоскостью.

Задача 5.

Консоль нагружена на свободном конце силой F. Поперечное сечение балки имеет две оси симметрии, моменты инерции относительно которых равны 250 см⁴ и 3400 см⁴. Направление силы F составляет с осями симметрии сечения угол, равный рад. Вычислить угол наклона нулевой линии к оси максимальной жесткости сечения.

Ответ: 1,497 рад.

Задача 6.

Стальная консольная балка двутаврового поперечного сечения (двутавр № 24) длиной 1 м загружена сосредоточенной вертикальной силой F = 40 кН. Найти максимальное нормальное напряжение в балке и вычислить прогиб конца консоли, если модуль упругости Е =2∙10⁵ МПа. Определить, как изменятся напряжения и прогиб балки, если сила F отклонится от вертикали на угол α= 5^о.

Ответ: при прямом изгибе σ_max = 138,5 МПа; w = 0,193 см; при косом изгибе напряжения и прогиб возрастают в 1,7 раза.

Задача 7.

При установлении опоры двутавра № 60 была допущена ошибка и стенка двутавра отклонилась от вертикали на угол равный 1^о. Определить связанное с этим увеличение нормальных напряжений и полного прогиба двутавра.

Ответ: напряжения увеличились на 20%, полный прогиб на 30%.

Задача 8.

Балка прямоугольного сечения 4х24 см была рассчитана для работы в вертикальной плоскости. Однако в процессе эксплуатации оказалось, что плоскость действия нагрузки может отклоняться от вертикали до 5⁰. Спрашивается, гарантирует ли безопасную работу конструкции принятый при расчете коэффициент запаса П=1,5?

Задача 9.

Консоль нагружена на свободном конце силой F. Поперечное сечение балки имеет две оси симметрии, моменты инерции относительно которых равны 250 см⁴ и 3400 см⁴. Направление силы F составляет с осями симметрии сечения угол, равный рад. Вычислить угол наклона нулевой линии к оси максимальной жесткости сечения.

Ответ: 1,497 рад.

Задача 10.

Направление полного прогиба балки прямоугольного сечения bx2b составляет с главными осями сечения угол рад. Определить положение плоскости изгибающего момента.

Ответ: α=1,326 рад (с осью х).

Задача 11.

При установке на опоры двутавра № 60, предназначенного для работы на изгиб в вертикальной плоскости, совпадающей с плоскостью стенки, была допущена ошибка, и стенка двутавра отклонилась от вертикали на угол 3⁰. Определить связанное с этим увеличением наибольших нормальных напряжений и полного прогиба двутавра.

Ответ: Напряжения увеличились на 74%, полный прогиб – на 154%.

Задача 12.

Защемленная одним концом двутавровая балка № 24а длиной 1,4 м, нагруженная на свободном конце сосредоточенной силой F, прогнулось под силой на 3 мм. Направление прогиба совпало с биссектрисой угла между главными осями инерции поперечного сечения балки. Определить величину и направлении силы F, а также наибольшее растягивающее напряжение в балке.

Ответ: F=17,65 кН, (к вертикали),

Задача 13.

Балка прямоугольного сечения bxh подвергается косому изгибу моментами М_х и М_у. Определить из условия прочности отношение сторон сечения m=h/b, при котором балка имеет минимальный вес.

Ответ: m=h/b=М_х/М_у.

Задача 14.

Какое положение займет нейтральный слой в балке прямоугольного поперечного сечения, если плоскость действия нагрузки будет совпадать с одной из диагональных плоскостей?

Ответ: Совпадает с другой диагональной плоскостью.

Задача 15.

Для балки прямоугольного сечения плоскость действия нагрузки направлена по диагонали прямоугольника. Докажите, что нейтральная линия совпадает с другой диагональю прямоугольника.

Задача 16.

Балка квадратного сечения, защемлена одним концом, на свободном конце нагружена силой F. В первом случае сила направлена параллельно стороне квадрата, а во втором совпадает с его диагональю. Как изменится величина силы F при переходе от первого варианта ко второму при условии, что наибольшие нормальные напряжения в обоих случаях одинаковы.

Задача 17.

Чугунная балка треугольного поперечного сечения, шарнирно опертая по концам, в плоскости, параллельной стороне АВ, изгибается сосредоточенной силой F=24 кН, приложенной посредине пролета l=1.8 м. определить необходимые размеры поперечного сечения балки, если

Ответ: в=18 см

Задача 18.

Определить величину допускаемого момента, плоскость которого наклонена к вертикали на угол φ=20⁰, если

Ответ: М_adm=40 кНм

Задача 19.

Проверить прочность стальной балки, если F=24 кН, а=1 м, в=8 см, .

Ответ:

Задача 20.

Подобрать размеры поперечного сечения балки и построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении. Найти также величину и направление полного прогиба сечения С. Дано: F=6 кН; Е=10 ГПа; а=1 м; h/в=2;

Ответ: в=13 см; .

Задача 21.

Проверить прочность и жесткость стальной балки, если и [f]=l/400.

Ответ: f=5 мм; .

Задача 22.

При косом изгибе балки прямоугольного сечения tgα=4tgβ, где α и β – углы, определяющие плоскости нагрузки и перемещений соответственно. Каким должно быть отношение h/в?

Задача 23.

Проверить прочность и жесткость стальной балки, если

Ответ:

Задача 24.

Для балки из I №55 определить величину допускаемой нагрузки из условия прочности и жесткости, если

Ответ:

Задача 25.

Балка прямоугольного сечения вхh подвергается косому изгибу моментами М_х и М_у. Определить из условия прочности отношение сторон сечения m=h/в, при котором балка имеет минимальный вес.

Ответ: m=h/в=М_х/М_у

Задача 26.

Для деревянной балки требуется определить величины допускаемых сил F и положение нулевой линии в опасном сечении, а также величину и направление полного прогиба свободного конца, если Е=10 ГПа,

Ответ: F=1,6 кН; f=13,34 мм;

Задача 27.

Консольные балки из двутавра и швеллера, имеющие одинаковую площадь поперечного сечения и длину, нагружены силой F под углом φ=18⁰ к вертикали. В балке из швеллера сила приложена в центре изгиба. Установите, какая из балок обладает большей несущей способностью и выполните количественную оценку.

Ответ: на 8,7% выше у швеллера.

Задача 28.

Определить допускаемое значение силы F, если При найденном значении силы построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении.

Задача 29.

Для балки заданного сечения известно положение плоскости действия внешней нагрузки. Определите положение нейтральной линии и плоскости кривизны оси балки.

Задача 30.

В результате изгиба балки под действием плоской системы сил центр тяжести некоторого сечения переместился в указанном направлении. Определите положение нейтральной и силовой линии для этого сечения.

Задача 31.

При каком положении силы F консольная балка не испытывает косой изгиб, если ее сечение составлено из: а) квадрата и равновеликого ему равностороннего треугольника; б) двух одинаковых прямоугольников?

Задача 32.

Для опасного сечения балки, испытывающей косой изгиб, напряжение в точке К равно нулю. В каких точках возникают наибольшие напряжения?

Задача 33.

Стальной уголок (равнобокий а и неравнобокий б) нагружены по концам изгибающими парами, действующими в плоскости, параллельной одной из полок. Установите положение опасных точек и постройте качественно (без вычислений) эпюру нормальных напряжений.

Задача 34.

Балка квадратного сечения bxb длиной l шарнирно оперта по концам и нагружена моментами М и погонной нагрузкой интенсивности q. При каком значении момента М во всех сечениях по длине балки наибольшие напряжения будут одинаковы?

Задача 35.

Какой из трех видов нагружения бруса, выполненного из пластичного материала, является более опасным?

Задача 36.

Деревянная балка длиной 2 м, имеющая прямоугольное поперечное сечение 12х20 см, защемлена одним концом и нагружена сосредоточенной силой F=2,4 кН на другом конце. Нагрузка лежит в плоскости поперечного сечения балки и проходит через его центр тяжести (см. рисунок). Построить эпюры нормальных напряжений по сторонам защемленного сечения и определить полный прогиб свободного конца балки.

Ответ: σ_A=+0,2 Мпа; σ_B=+10,2 Мпа; σ_С=-0,2 Мпа; σ_D=-10,2 Мпа; f=13,1 мм.

Задача 37.

Для балки, лежащей на двух опорах и загруженной тремя вертикальными сосредоточенными силами F₁ = F₃ = 10 кН, F₂ = 20 кН и равномерно распределенной горизонтальной нагрузкой q = 24 кН/м, требуется подобрать прямоугольное поперечное сечение с отношением сторон h = 1,5b. Пролет балки равен 1 м, R_y = 150 МПа, γ_с = 1 (см. рис.).

Ответ: b = 6 см, h = 9 см.

Задача 38.

Балка прямоугольного поперечного сечения b×h = 0,18м×0,24м нагружена так, как показано на рисунке. Найти наибольшее нормальное напряжение, если сила F = 60 кН, пролет балки l = 3 м, угол между линией действия силы F и вертикальной осью α = 30^o.

Ответ: σ_max = 35,5 МПа.

Задача 39.

Определить наибольшие (по абсолютной величине) нормальные напряжения в балке пролетом 2 м, опирающейся на шарнирные подвижную и неподвижную опоры и несущую посередине пролета сосредоточенный груз F = 6кН. Сечение балки с прямоугольным отверстием показано на рис. 1.

У к а з а н и е Вначале необходимо определить положение нейтральной оси.

Балка прямоугольного сечения изгибается моментом М = 10 кНм (рис. 2). Найти точки с наибольшими нормальными напряжениями и вычислить эти напряжения.

Балка двутаврового сечения №20 свободно опирается на прогоны, наклоненные под углом 30^о к горизонтали (рис.3). Расстояние между осями прогонов 4 м. Балка посередине нагружена вертикальной сосредоточенной силой F = 8 кН. Пренебрегая собственным весом балки, определить напряжения в точках a, b, c, d и угол наклона β нейтральной оси сечения балки к главной оси z.

Ответ к рис.1: σ_max= 35,1 МПа.

Ответ к рис.2: σ_max=σ_(a)= 7,15 МПа; σ_min=σ_(c)= –7,15 МПа.

Ответ к рис.3: σ_(a)= –210,9 МПа; σ_(b)=–135,5 МПа; σ_(c)= 210,9 МПа; σ_(d) =135,5 МПа; β = 83^о48^/.

Задача 40.

Стальная консольная балка двутаврового поперечного сечения длиной l=2 м изгибается силой F=8 кН, приложенной к ее свободному концу (см. рис.). Пренебрегая собственным весом балки, подобрать номер двутаврового профиля и определить прогиб свободного конца, если α= 30^o, R_y = 140 МПа, γ_c= 1 и модуль упругости Е = 2∙10⁵ МПа.

У к а з а н и е. Для двутаврового сечения при предварительном подборе принимают W_y / W_z = 8–10.

Ответ: двутавр № 36; прогиб w = 1,03 см.

Задача 41.

Проверить прочность и жесткость стальной балки, если [σ]=140 МПа и [f]=l/400.

Ответ: а) мм =[f]; б) мм =[f].

Задача 42.

Подобрать размеры поперечного сечения деревянной балки и построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении балки, если [σ]=15 МПа и [τ]=3 МПа, q=3 кН/м.

Ответ: b=12 см,

Задача 43.

Шарнирно опертый по концам швеллер нагружен равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q=5 кН/м. определить нормальные напряжения в точках А, В, С и Д опасного сечения балки, а также величину и направление наибольшего прогиба, если длина балки l=4 м.

Ответ: (к оси х).

Задача 44.

Деформации в точках А и В стальной балки по направлениям баз датчиков, определенные с помощью электротензометрической установки, равны соответственно Найти величину и направление силы F, приложенной посредине балки.

Ответ: F=10 кН, φ=30⁰ (к вертикали).

Задача 45.

Чугунная балка треугольного поперечного сечения, в плоскости, параллельной стороне АВ, изгибается сосредоточенной силой F=24 кН, приложенной посредине пролета l=1,8 м. определить необходимые размеры поперечного сечения балки, если и

Ответ: b=18 см.

Задача 46.

Подобрать сечение балки и определить полный прогиб ее на свободном конце по величине и направлению, если [σ]=10 МПа, Е=10 ГПа, F₁=0,8 кН; F₂=1,65 кН.

Ответ: b=9 см, см; (к оси х).

Задача 47.

Проверить прочность балки и построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении, если F=14 кН, а=1 м, [σ]=160 МПа.

Ответ: МПа (прочность обеспечена), (к оси х).

Задача 48.

Консольные балки из двутавра и швеллера, имеют одинаковую площадь поперечного сечения и длину, нагружены силой F под углом φ=18⁰ к вертикали. В балке из швеллера сила приложена в центре изгиба. Установите, какая из балок обладает большей несущей способностью и выполните количественную оценку.

Ответ: На 8,7% выше у швеллера.

Задача 49.

Подобрать сечение балки и определить положение нейтральной оси в опасном сечении, если q=2,3 кН/м, F=6 кН, [σ]=70 МПа, а=0,5 м; φ=30⁰,

Ответ: d=10 см, к оси х.

Задача 50.

Установите наибольшее отклонение от вертикали силы F=80 кН, при котором еще сохраняется прочность стальной балки, если [σ]=150 МПа. При найденном значении φ определите деформации в направлении без тензометров Т₁ и Т₂.

Ответ:

Задача 51.

Для балки двутаврового профиля № 55 определить величину допускаемой нагрузки из условия прочности и жесткости, если [σ]=160 МПа, [f]=1 см, а=1 м, φ=30⁰.

Ответ: [q]=2 кН/м (из условия жесткости).

Задача 52.

Проверить прочность деревянной балки и построить эпюру нормальных напряжений на плоскости и в аксонометрии для опасного сечения. Найти также величину и направление полного прогиба сечения С. Дано: F=6,4 кН, [σ]=10 МПа, Е=10 ГПа, а=1 м.

Ответ:

Задача 53.

Подобрать размеры поперечного сечения балки и построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении. Найти также величину и направление полного прогиба сечения С. Дано: F=6 кН, [σ]=10 МПа, Е=10 ГПа, а=1 м, h/b=2.

Ответ: .

Задача 54.

Определить допускаемое значение силы F и построить эпюру нормальных напряжений для опасного сечения. Найти также величину и направление полного прогиба сечения С. Дано: [σ]=11 МПа, Е=10 ГПа, а=1 м.

Ответ:

Задача 55.

Проверить прочность стальной балки, если F=24 кН, [σ]=150 МПа, а=1 м, b=8 см.

Ответ:

Расчет стержней при внецентренном сжатии-растяжении

Задача 1.

Как изменятся размеры ядра сечения, если круглое сплошное сечение диаметром D заменить трубчатым с наружным диаметром D и внутренним диаметром d.

Ответ: радиус ядра сечения увеличится в раз.

Задача 2.

Определить эксцентриситет продольной силы, при котором нормальные напряжения в крайних волокнах образца круглого сечения диаметром d отличаются от среднего значения напряжений не более, чем на 5%.

Ответ: е<0,0125d.

Задача 3.

Круглая цилиндрическая башня, имеющая высоту h, внутренний диаметр и наружный , слегка отклоняется от вертикали. Полагая, что на башню действует только ее собственный вес, определить максимальный угол φ отклонения от вертикали, при котором в башне нигде не возникают растягивающие напряжения. Выполнить количественную оценку, приняв h=5 м,

Ответ:

Задача 4.

Для круглого поперечного сечения с радиусом R ядро сечения представляет собой соосный круг меньшего радиуса r = R/4. Доказать, что при приложении к круглому поперечному сечению внешней силы на расстоянии, равном радиусу R от центра кругов, нейтральная линия коснется контура ядра сечения.

Задача 5.

Построить ядро сечения для прямоугольника с высотой h и шириной b. Главная ось z направлена параллельно стороне с высотой h.

У к а з а н и е . Учесть, что предельными будут такие положения нейтральных линий, при которых эти линии совпадут с контурами сечения.

Ответ: ядро сечения – ромб с большой диагональю, расположенной на оси z и равной h/3, малой – на оси y и равной b/3.

Задача 6.

От какого вида напряжений (растяжение или сжатие) произойдет разрушение бетонной колонны, если сжимающая ее сила будет приложена: а) в точке А? б) в точке В? Предел прочности бетона при сжатии в шесть раз больше предела прочности при растяжении. Зависимость между σ и ε считать линейной вплоть до разрушения.

Ответ: а) сжатие; б) растяжение.

Задача 7.

Листовой элемент рамы прямоугольного поперечного сечения, имеющее внецентренно-расположенное сквозное отверстие, нагружен растягивающими силами F=300 кН. Найти наибольшее растягивающие напряжение в ослабленном сечении.

Ответ: 157 Мпа.

Задача 8.

Проверить прочность нижней части бетонного столба прямоугольного поперечного сечения, если F=6 кН,

Ответ:

Задача 9.

Колонны с поперечным сечением, изображенным на рисунке, сжаты продольной силой, приложенной в точке А. Определить, во сколько раз максимальное нормальное напряжение в данном случае меньше того, которое возникло бы в колонне, если бы толщина ее стенок везде была одинаковой и равной 6 см.

Ответ: в 1,15 раза.

Задача 10.

Жестко заделанный нижним концом короткий брус таврового поперечного сечения нагружен сжимающими силами F и 2F. Определить значение параметра сил F из условия, чтобы наибольшие напряжения не превышали: на сжатие 100 МПа, на растяжение 40 МПа.

Ответ: 394 кН.

Задача 11.

Полоса толщины t=10 мм растягивается силой Р=50 кН с эксцентриситетом е=в/4. определить ширину в при допускаемом напряжении

Ответ: в=7,8 см.

Задача 12.

К горизонтально расположенной крестовине, жестко скрепленной со стальной трубой диаметром d=50мм и толщиной t=2мм, симметрично подвешены четыре одинаковых груза G=1 кН. Определить наибольшее напряжение в трубе при четырех грузах, а также в том случае, когда один из грузов снят.

Ответ:

Задача 13.

Короткая чугунная колонна кольцевого поперечного сечения жестко заделана нижним концом. На свободном конце она нагружена продольными сжимающими силами в точке А F_А=800 кН и в точке В F_В=400 кН. Определить наибольшее сжимающие напряжение и построить эпюру нормальных напряжений для поперечного сечения колонны.

Ответ:

Задача 14.

Двутавровая стойка поддерживает платформу весом G=120 кН, на которую действует две силы F=80 кН. Определить необходимый номер двутавра при загружении платформы двумя силами или одной из них, если а=1 м, [σ]=140 МПа.

Ответ: двутавр № 36.

Задача 15.

Найти координаты точки приложения сжимающей силы F для короткой двутавровой колонны из условия, что нулевая линия занимает положение, показанное на рисунке.

Ответ:

Задача 16.

Колонны круглого и прямоугольного сечения нагружены сжимающими силами в точках А. При этом сжимающие напряжения в этих точках оказались одинаковыми. Сравните напряжения в точках В.

Ответ: